개요

모든 정점에서 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. 기본적으로 DP에 기반한 알고리즘이다. 다익스트라 알고리즘은 하나의 정점에서 출발했을 때 다른 모든 정점으로의 최단 경로를 구하는 알고리즘이다. 필요에 따라 잘 선택하도록 하자.

흐름도

1. 일단 모든 경로를 테이블로 옮긴다.
2. 1번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하여 테이블을 갱신
   1. 2→3 vs 2→1 + 1→3 (최소값으로 업데이트)
3. 2번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하여 테이블 갱신
4. 3번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하여 테이블 갱신
5. 4번 노드를 거쳐가는 경우를 고려하여 테이블 갱신

code

import sys

input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9)

# 노드의 개수(n)과 간선의 개수(m) 입력
n = int(input())
m = int(input())

# 2차원 리스트 (그래프 표현) 만들고, 무한대로 초기화
graph = [[INF] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]

# 자기 자신에서 자기 자신으로 가는 비용은 0으로 초기화
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if a == b:
            graph[a][b] = 0

# 각 간선에 대한 정보를 입력받아, 그 값으로 초기화
for _ in range(m):
    # A -> B로 가는 비용을 C라고 설정
    a, b, c = map(int, input().split())
    graph[a][b] = c

# 점화식에 따라 플로이드 워셜 알고리즘을 수행
for k in range(1, n + 1):
    for a in range(1, n + 1):
        for b in range(1, n + 1):
            graph[a][b] = min(graph[a][b], graph[a][k] + graph[k][b])

# 수행된 결과를 출력
for a in range(1, n + 1):
    for b in range(1, n + 1):
        if graph[a][b] == INF:
            print('INFINITY', end=' ')
        else:
            print(graph[a][b], end=' ')
    print()

# sample input
# 4
# 7
# 1 2 4
# 1 4 6
# 2 1 3
# 2 3 7
# 3 1 5
# 3 4 4
# 4 3 2

시간 복잡도

노드의 개수가 N개일 때, N번의 단계를 수행하며, 단계마다 O(n^2)의 연산을 통해 현재 노드들 거쳐가는 모든 경롤르 고려한다. 따라서 O(N^3)이다.